Pahami Konsep Dasar Kaidah Pencacahan Dan Faktorial

Selamat datang sahabat IDmathcirebon,

Sebelum sahabat lebih dalam mempelajari tentang peluang, hal yang harus sahabat kuasai adalah kaidah pencahan dan faktorial. Perlu sahabat tahu bahwa, kaidah pencahan merupakan bagian dari teknik menghitung dalam kombinatorial. Pada kombinatorial terdapat dua kaidah dasar untuk menghitung, yaitu kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum).

Perbedaan Kaidah Perkalian dan Penjumlahan

Terdapat perbedaan antara kaidah perkalian dan penjumlahan. Kaidah perkalian, apabila percobaan n1 memiliki p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan n2 memiliki  hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila percobaan n1 dan n2 dilakukan secara berurutan, terdapat p x q hasil percobaan. Kaidah penjumalahan, apabila percobaan n1 memiliki p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan n2 memiliki  hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan n1 atau n2), terdapat p + q hasil percobaan.

Sahabat tentu sudah mendapatkan pelajaran ketika di SMP mengenail relasi (himpunan). Untuk menyatakan himpunan dapat ditentukan dengan cara diagram pohon, diagram venn atau tabel silang, dan pasangan berurutan.

Ternyata pada kaidah perkalian, kita dapat menggunakan ketentuan pada himpunan untuk menentukan hasil percobaan dari konsep kaidah perkalian.

Contoh 1. Sekolompok mahasiswa terdiri 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wakil wanita?

Penyelesaian:

Untuk dapat mengetahui banyaj jumlah cara pada permasalahan contoh 1, saya akan membahasnya dengan 3 konsep, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan.

Diagram Pohon

Misalkan 4 orang pria dinyatakan oleh a, b, c, dan d sedangkan 3 wanita oleh 1, 2, dan 3.

diagram pohon

Berdasarkan diaggram pohon di atas dapat kita peroleh banyaknya pasangan wakil pria dan wanita yang dapat dibentuk ada 12.

Tabel Silang

Buatlah tabel sesuai dengan kebutuhan,

Tabel silang

Tabel yang diarsir adalah pasangan yang mungkin terjadi, yaitu ada 12.

Pasangan berurutan

Gunakan aturan perkalian himpunan untuk menentukan pasangan berurutan.

P = (a, b, c, d) dan Q = {1, 2, 3}, maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3)}.

Berdasarkan hasil pasangan berurutan, secara langsung dapat kita tentukan dengan cara n(P x Q) = n(P) x n(Q) = 4 x 3 = 12.

Contoh 2. Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 1997 atau angkatan tahun 1998. Jika terdapat 5 orang mahasiswa angkatan 1997 dan 52 orang mahasiswa angkatan 1998, berapa cara memilih penjabatan ketua himpunan?

Penyelesaian:

Pada contoh 2 ini merupakan penyelesaian menggunakan kaidah penjumlahan. Kenapa? Karena dari dua angkatan (1997 dan 1998) hanya dipilih satu, artinya penjabatan yang terpilih bisa angkatan 1997 atau 1998. Maka jumlah cara memilih penjabatan ketua himpunan tersebut adalah 45 + 52 yaitu 97.

Pelajari : formula permutasi

Contoh 3. Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, misalnya nasi goreng, roti, dan soto ayam, sate, dan sop, serta tiga minuman, misalnya susu, kopi, dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?

Penyelesaian:

Gunakan kondep kaidah perkalian, yaitu p x q hasil percobaan. Karenan makana terdapat 4 jenis (nasi goreng, roti, dan soto ayam, sate, dan sop) dan minuman ada 3 jenis (susu, kopi, dan teh), maka:

n(Mk) = 5 dan n(Mn) = 3, artinya n(Mk) x n(Mn) = 5 x 3 adalah 15. Kesimpulannya, terdapat 15 pasangan yang dapat terbuntuk.

Contoh 4. Berapa banyak bilangan-bilangan bulat positf ganjil, yang terdiri dari 3 angka dan yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6, dan 7.

Penyelesaian:

Karena diminta tiga (3) angka maka hanya terdapat angkat ratusan, angka puluhan, dan angka satuan.

tabel-peluang
Angka ratusan, untuk mengisi angka ratusan ada 5, yaitu (3, 4, 5, 6, atau 7).

Angka puluhan, tidak adanya ketentuan boleh tidaknya ada pengulangan, maka kelima angka (3, 4, 5, 6, atau 7) dapat mengisi angka puluhan.

Angka satuan, karena hanya bilangan bulat positif ganjil, artinya kita hanya dapat mengisi tiga angka, yaitu 3, 5, atau 7.

Dari pengisian tiap kotak, dapat kita tentukan dengan kaidah perkalian, yaitu 5 x 5 x 3 = 75. Maka ada 75 bilangan bulat positif ganjil yang dapat terbentuk.

Faktorial

Konsep dasar selanjutnya untuk benar bisa menguasai peluang, yaitu faktorial. Faktorial merupakan hasil kali bilangan asli secara berurutan, dinotasikan dengan n!. Secara umum, untuk setiap bilangan asli n, maka n faktorial didefinisikan sebagai:

n! = n(n – 1), (n – 2), ..., 3 x 2 x 1

Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1.

Contoh 5. Tentukanlah nilai n yang memenuhi setiap persamaan berikut ini.

a. = n(n – 1)(n – 2)

b. = (n + 1)n(n – 1)

Penyelesaian:

= n(n – 1)(n – 2)

= = n(n – 1)(n – 2)

= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = n(n – 1)(n – 2)

Artinya,

n = 10 ; (n - 1) = 9 ; dan (n – 2) = 8, maka nilai n adalah 10.

= (n + 1)n(n – 1)

= = (n + 1)n(n – 1)

= 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = (n + 1)n(n – 1)

Artinya,

(n + 1) = 9 ; n = (8) ; dan (n - 1) = 7, maka nilai n adalah 8.

Terimakasih telah belajar bersama IDmathcirebon dan share keteman-teman, silahkan tinggal pertanyaan dikolom komentar.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *