Permutasi Dengan Beberapa Formulanya

Selamat datang sahabat IDmathcirebon,

Sahabat tentu masih ingat pada contoh 1 materi “konsep dasar kaidah pencacahan dan faktorial”, didapat sebanyak 12 cara memilih wakil pria dan wanita, yaitu (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3). Semua urutan tersebut dinamakan permutasi. Sebenarnya permutasi merupakan pengembangan dari aturan perkalian. Sama hal dengan aturan perkalian, permutasi bertujuan untuk mencari banyaknya susunan yang terjadi. Misalkan berapa banyak susunan yang terjadi dari “1234” “ADA”.

Nanti sahabat akan belajar juga mengenai kombinasi, pada artikel selanjutnya. Didalam permutasi sahabat akan mendapatkan beberapa kondisi, artinya permasalahan tertentu dapat diselesaikan dengan cara permutasi.

Formula Baku Permutasi

Misalkan terdapat n unsur berbeda kemudian diambil r unsur dari n dengan catatan (r ≤ n), notasi permutasi yaitu notasi nPr, P(n, r), , atau nPr. Artinya banyak cara dalam penulisan notasi permutasi, sahabat harus tahu ini. Nilai  ditentukan oleh formula berikut ini.

rumus permutasi

Terdapat permutasi unik, yaitu apabila n = r, artinya . Untuk menentukan nilai  kita gunakan,

n(n – 1)(n – 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ternyata  sering kita tulis Pn (dibaca: permutasi n unsur).

Contoh 1. Berapa banyak kata yang terdiri dari atas 6 huruf yang dapat dibentuk dari kata “MELATI”?

Penyelesaian:

Dari kata “MELATI” kita peroleh n = 6 dan karena diminta 6 huruf susunan, artinya r = 6. Maka banyaknya susunan adalah:

=

=

=  (kita tahu bahwa 0! = 1)

= 6! (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)

 = 720

Kalau kita gunakan konsep  kita peroleh P6 = 6! (720). Maka banyaknya kata yang dapat dibentuk berjumlah 720 kata.

Contoh 2. Tiga buah ujian dilakukan dalam suatu metode periode enam hari (Senin sampai Sabtu). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.

Penyelesaian:

Kita gunakan konsep permutasi dengan n = 6 dan r = 3, artinya:

=

=

=

 = 120

Jadi, banyaknya pengaturan jadwal adalah 120.

Contoh 3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?

Penyelesaian:

Kita peroleh nilai n = 6 dan r = 2, maka:

=

=

=

 = 30

Jadi, jumlah pengatruan kursi adalah 30.

Pelajari : konsep dasar kaidah pencacahan dan faktorial

Contoh 4. Carilah nilai n yang memenuhi persamaan 7 ⋅ = 6 ⋅

Penyelesaian:

7 ⋅ = 6 ⋅

7 ⋅ = 6 ⋅

=

7 =

7 (n – 2) = 6 (n + 1)

7n – 14 = 6n + 6

n = 20

Jadi, nilai n adalah 20.

Permutasi k Unsur Sama

Pada kehidupan sehati-hari, terkadang kita akan menemukan beberapa yang sama. Hal ini juga berlaku pada permutasi, bagaimana kalau permasalah itu memiliki beberapa unsur yang sama seperti tentukan permutasi dari “ADA” “KATA”. Untuk menentukan permutasi dari “ADA” dan “KATA”, sahabat haruslah menggunakan rumus permutasi k unsur yang sama.

Misalkan ada n unsur dan diantaranya ada k unsur yang sama (k ≤ n), maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur tersebut ditentukan oleh formula:

P =

Ternyata masih ada lagi masalah, bagaimana kalau “MATEMATIKA” “STRIOMETRI” berapa banyak permutasi yang terbentuk. Dari kata “MATEMATIKA” terdapat lebih k unsur yang sama, yaitu “M” “A” dan “T”. Untuk permasalahan ini kita gunakan rumus permutasinya

P = dengan n1 + n2 + n3 ≤ n

Contoh 5. Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari kata “BELALANG”.

Penyelesaian:

Karena terdapat beberapa unsur yang sama, yaitu

Huruf A = 2 ; Huruf L = 2 dan n = 8. Rumus permutasi yang akan kita gunakan adalah

P =

=

= 84 ⋅ 5!

= 10080

Jadi, susunan huruf yang terjadi sebanyak 10080 susunan.

Contoh 6. Dari kata “HARAPAN” dapat disusun berapa banyak kata.

Penyelesaian:

Kita temukan ada unsur yang sama, yaitu A sebanyak 3 dengan n adalah 7. Artinya,

P =

=

= 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4

P = 840

Jadi, banyak kata yang dapat disusun dari “HARAPAN” adalah 840 kata.

Terimakasih telah belajar bersama IDmathcirebon dan share keteman-teman, silahkan tinggal pertanyaan dikolom komentar.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *